算数教育の専門家らしい滝井章氏のコラムが炎上しました。「１つの機能につき1/10の確率で故障するなら、機能が10個あれば10/10の確率で故障する」と書いてあります。「コインを投げたら、表が出たので、次は裏が出る」に近いレベルの間違いですね。炎上やむなしです。
独立事象や従属事象などの確率の基本中の基本を理解していれば、このような間違いは犯さないはずですが、実は、滝井章氏をあまり馬鹿に出来ない前科が私には有ります。その説明のために例題をいくつか作りました。簡単な問題です。なお、確率の和や積の計算よりも、しらみつぶしに根元事象の頻度を数えて、最後に確率にする方が分かり安いので、解答はそのように説明しています。
問１-1 サイコロを６回投げたとき、１の目が１回だけ出る確率？
6回投げた時の目の出方は、6×6×6×6×6×6=46656通り。
1の目がでる回は1回から6回までの6パターン。
それぞれのパターンの目の出方の頻度は、
1×5×5×5×5×5=3125通りなので、
1回だけ1の目が出る頻度は、6×3125=18750。
よって1回だけ1の目が出る確率は、18750/46656=0.402
問1-2 サイコロを６回投げたとき、１の目が２回だけ出る確率？
2の目が出るパターンは、６個から２個選ぶ組み合わせがあり、6C2=6×5/2=15通り。
それぞれのパターンの目の出方の数は、
1×1×5×5×5×5=625
よって、１の目が２回出る確率は、
15×625/46656=9375/46656=0.201
同様に、1の目が3回だけ出る確率は、
6C3×5×5×5/46656=2500/46656=0.054
1の目が4回だけ出る確率は、
6C4×5×5/46656=375/46656=0.008
1の目が5回だけ出る確率は、
6C5×5/46656=30/46656=0.001
1の目が6回出る確率は、1/46656=0.000
問1-3 サイコロを６回投げたとき、１の目が１回以上出る確率？
問1-1と問1-2の合計になるが、次の様に考えれば簡単。
１回も１の目が出ない頻度は、5×5×5×5×5×5=15625。
よって、１回以上、１の目が出る確率は、
(46656-15625)/46656=0.665。
問1-4 サイコロを６回投げたとき、１の目が出る回数の期待値？
１回投げた時１の目が出る回数の期待値は、
1×1/6+0×5/6=1/6。
よって、６回投げた時は、1/6×6=1回。
滝井章氏は、この期待値と確率を混同していた可能性がある。
問2-1 ６本のうち、１本だけ当たりくじがある。１本選んだ時、当たりの確率。
いうまでもなく、1/6
問2-2 ６本のうち、１本だけ当たりくじがある。一度に6本選んだ時、当たりの確率。
計算するまでもないが、6×1/6=1
滝井章氏は、この確率と混同していたのかも。
この問題では、最初から確率で考えた方が分かりやすいかもしれないが、他の問題との関係が見やすいように、頻度で考える。頻度で考えるため、1年間の地震有頻度1回に対して地震無頻度が5回とする。
6年間の地震有無の頻度総数は、
6×6×6×6×6×6=46656
6年間で1回も地震が発生しない頻度は、
5×5×5×5×5×5=15625
よって、６年間で１回以上発生する確率は、
(46656-15625)/46656=0.665
問1-3と同型の問題だ。
問3-2 １年間に１回だけ発生する確率が1/6、2回以上発生する確率が0の地震がある。この地震が６年間で発生する回数の期待値？
1年間に発生する回数の期待値は、
1×1/6+2×0+3×0+・・・＝1/6
よって、6年間に発生する回数の期待値は、1/6×6=1回
問1-4と同型の問題だ。
問3-3 １年間に１回だけ発生する確率が1/9、2回だけ発生する確率が1/36、3回以上発生する隔離が0の地震がある。この地震が６年間で発生する回数の期待値？
1年間に発生する回数の期待値は、
1×1/9+2×1/36+3×0+・・・＝1/6
よって、6年間に発生する回数の期待値は、
1/6×6=1回
実は、私も滝井章氏とさして変わらない間違いを犯していました。何かおかしいと思いながらも、6年間に1回発生する地震の発生確率は1/6だと思っていたのです。これは、問自体に不備があります。「地震の発生する確率」だけでは不十分です。期間や発生回数を指定しないと確率は求められません。例えば「地震が1年間に1回以上発生する確率」のように問わねばなりません。そのようにしても、まだ答えは定まりません。上記の問3-2と問3-3は、どちらも6年間で1回発生する地震ですが、1年間で1回以上発生する確率は、1/6と1/9+1/36=5/36と違います。期待値が同じになる確率分布は無数にあります。
滝井章氏のコラムの「1/10の確率で故障」という表現も「地震の発生確率」のように、不十分です。「1万時間運転した時、1回以上故障する確率」とか「耐用年数の間に1回以上故障する確率」のようにいう必要があります。1万時間で1回以上故障する確率と2万時間で1回以上故障する確率は違いますから、「1/10の確率で故障」では、意味不明です。確率は、（確率を考える事象の頻度）/（すべての事象の頻度）なのに、すべての事象の条件がないのです。
前述の様々な問題のうちどの問題を考えているのか、自分でわかっていなければ、間違うのは当然です。解答を考える以前に、問題をわかっていなかったのです。
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