他者の推理に依存する推理

  • パラドクス

 前回の「帽子色当て問題」では、他者の推理力に依存した推理になっています。そこがどことなく釈然としないところです。問題をもっと単純にしてみても同じです。

2人帽子色当て問題

 白色の帽子2個と赤色の帽子1個から取り出して二人にかぶせる。自分の帽子の色は見えないがもう1人の色は見える。自分の帽子の色を推理して答えなければならない。あなたがもう1人をみたら白色であったので、次のように推理した。

(推理)

自分(B)が赤色と仮定すると、相手(A)は赤色の帽子を見ており、自分(A)が白だと分かる。ところが、相手(A)は答えないので、仮定は間違っており、自分(B)は白色である。

  この推理は正しいように思えますが、パラドクスになるんですね。

(パラドクスの推理)

自分(B)が白色と仮定すると。相手(A)は自分(B)と同様の状況なので、前述の推理によって相手(A)は、自分(A)が白色と分かる。ところが相手(A)は答えないので仮定は間違っており、自分(B)は赤色である。

  もっと簡単にいうと、「相手(A)は自分(B)の白をみても推理できない」という前提から、「自分(B)は相手(A)の白を見て推理できる」ことになったので明らかにどこか変です。自分も相手も全く条件は同じなのに、自分には分かるが、相手は分からないという非対称性があります。しかも、相手が分からないことを使って自分だけ分かってしまうのですね。そんな都合のいい話はないから、パラドクスになるのじゃないでしょうか。

 

  •  推理に必要な情報の非対称性

 結論を言えば、自分には、相手が推理できないという情報があるのに、相手にはないという非対称性があるのだと思います。

 次の文は、2人帽子色当て問題で使う推論で、なりたちます。

 

文1「自分が赤ならば、相手は白である

 

文1を対偶にしてみれば、自分と相手は全く対称になっています。

 

文2「相手が白でないならば、自分は赤でない」すなわち

  「相手が赤ならば、自分は白である」

 

 この推論だけで他に情報がなければ、自分の帽子の色は推理できません。では、ほとんど、同じ文ですが、次は成り立つでしょうか。

 

文3 「自分が赤ならば、相手は自分が白だと推理できる」

 

 その対偶は次の通りです。

 

文4「相手が自分を白だと推理できないならば、自分は白である」

 

 文3文4が成り立つには条件が必要です。帽子の色は客観的な事実ですが、推理は推理力に依存します。従って先ずは完璧な推理が出来るという前提が必要ですが、その前提は認めることにします。それでも、相手が答えないのは「自分の色は分からない」と推理したからなのか、まだ推理中なのか不明です。相手が推理を完了したのか確認しないと、文4は使えません。

 しかし、相手(A)に分からなかったことを確認すれば、Bは自分が白だと推理できます。そして、Bが推理できたことを知った時点でAは推理できなくなります。つまり、与えられる情報に非対称性があるので、Bは推理でき、Aは出来なくなります。これは3人の場合も同じでA、B、Cの順に推理できたかを尋ねていけば、Cは推理できます。すなわち,Aが推理できないと分かれば、BとCの二人とも赤であることはないと推理できます。この時点でCが赤であれば、Bは自分が白だと推理できますが、Cは白なのでできません。次にBが推理できないと分かれば、Cは自分が白だと推理できます。自分以外は全員、推理できないという情報を得て、初めて自分は白だと推理できます。そして、それまでは自分も推理できていなかったということは誰にも教えてはいけません。先を越されます。

  •  他人の気持ちは尋ねなければわからない

 最初の推理の間違いは、自分以外のものが答えないことを、推理が出来ないと勝手に決めつけたことだとと思います。実は、自分は赤なのに相手はまだ考え中かもしれません。2人の場合は、その可能性は少ないですが、逆に相手に先を越されるともう推理できなくなります。そこで、間髪入れずに「白だ」と答えて、帽子をみるとなんと赤です。最初の問題をもう一度見てください。「あなたがもう1人をみたら白色であった」であって、「二人に白い帽子を被せた」とは書いてありません。

 

(4/11 追記)

 最初にパラドクスと書きましたが、「専門的」には、パラドクスとは言わないようです。何の専門なのかよくわかりませんが、この追記の参考にしたスマリヤンのパズル本「この本の名は?」にそう書いてありました。帽子の色あては、単に、推理が間違っているということらしいです。では「専門的」には、パラドクスとはどういうものをいうのかと言うと、真とも偽ともいえない基底性のない文に関わる矛盾らしいです。基底性がないとは、具体的な意味がない(何も情報をもたらさない)ということです。

 文が真か偽を判断するためには、先ずその文の意味を理解する必要があります。「東京は日本の首都である。」と言う文の意味を私は理解していて、東京が日本の首都であることを知っているので、真であると判断できます。ところが「この文は真である。」という文の意味は、この文の真偽に関わることなので、先ずはこの文の真偽を知っていなければ判断できないという循環に陥ります。仮に真と仮定しても偽と仮定しても矛盾は生じないのでパラドクスにはなりませんが、真とも偽ともいえる意味のない文です。一方、「この文は偽である。」も基底性のない文ですが、真と仮定しても偽と仮定しても矛盾が生じるので真とも偽とも言えない意味のないパラドクスになります。

 帽子の色は具体的事実なので、帽子の色を推理したいくつかの文の真偽は定まります。つまり、基底性はあるので、専門的にはパラドクスとは言わず、単に推理が間違っているので矛盾が生じただけです。その間違いについて私の見解を書いたのが本文です。

■ 他者の考えの推測

  • 質問が見当たらない

 ウィキペディアの「眠り姫問題」には、眠り姫が受けた質問はまでは書いてありますが、肝心の読者への質問が書いてありません。ツイッターのやりとりで私は「眠り姫は何と答えたかはわからない。自分が眠り姫の立場なら1/2と答える」と揚げ足とりの注釈をつけたことがあります。我ながらクレーマーみたいでした。常識的に考えれば「あなたが眠り姫の立場なら何と答えるか?」と解釈すればよいだけなので、大人げない態度です。ただ、常識的に解釈することは、先入観で解釈することでもあり、その先入観が混乱を引き起こすのが「眠り姫問題」でもあります。

  • 推理クイズ

 ところで、他者の立場になって考えるといえば、そのタイプの推理クイズがあります。有名なのは、帽子の色当て問題です。

  白い帽子3つと赤い帽子2つがある。3人にそこから選んだ帽子を被せる。自分の帽子の色は見えないが、他の2人の色は分かる。3人全員に白い帽子を被せて、自分の色を推理させたら、一人が答えたどのように推理したか?

  この問題は子供の頃に知りましたが、解答を読んでも釈然としませんでした。その推理が、自分以外の者の推理能力を都合よく考えていたからです。自分以外の二人にも適度の推理能力があるけどれも、自分よりは劣っているという何の保証もない前提なので、実際にはそんな推理は出来ないと思いました。

と言いながら、自分が実際にその立場に今なったら「白」と答えます。論理的な推理ではなくヒューリスティックな推測ですので確実に「白」ではなくて「白」の可能性が高いという程度の推測ですが。

私は次のように考えます。

 もし自分の帽子が「赤」ならば、他の2人は「赤」と「白」を見ていることになる。その状況は「白」と「白」を見ている私の状況と違って、多少推理しやすい。なぜなら、その二人にとっては、自分に見えていない二つの「白」と一つの「赤」のうち一つを自分が被っている、つまり「白」である確率は2/3に対して「赤」の確率「1/3」である。ただし、自分が「赤」であれば「白」を被っている者が確実に「白」と分かってしまうので、その可能性は少ない。よって「白」の可能性が非常に高いと推測できるだろう。

 それに対して、「白」二人を見ている私の推測は多少面倒である。見えていない帽子は「白」一つ、「赤」二つなので、私が被っている帽子が「白」である確率は1/3、「赤」である確率は2/3である。しかし、「白」である場合、他の2人にとってその状況は今の私と同じであり、「白」の可能性が高いわけではない。

以上の考察より、出題者が他の2人をえこひいきしたいのでなければ、3人を平等に扱うであろう。故に「白」の可能性が高い。

  私のヒューリスティックな推測とクイズの回答はよく似ています。ただし、私の推測は出題者の心理を勘案した可能性に過ぎないのに対して、クイズの回答は確定的なものという違いがあります。確定的なのは「論理的」に考えたからですが、仮定条件が非現実的なので信頼性は乏しいです。

 さて、推測にしろ「白」の可能性が高いと判断しましたが、前述のように「白」の確率は1/3です。これは、どのように考えればよいでしょうか。と、問いかけるほどの話ではありませんでした。ヒューリスティックな推測では、他者の推理や出題者の心理を勘案していますが、確率は、残り3つのうち1つということを表しているだけです。コインを投げて帽子の色を決めているなら白の確率は1/3です。確率とはそれだけの意味しかありません。難しい手術の成功確率が○○%と言う場合、患者の生きようとする意欲の類は通常は、反映されていません。実際には、患者の意欲は手術の結果に影響すると思いますが。

多義図形、不可能図形、多義文、不可能文

  • 悲惨なアンケート結果

 「眠り姫問題」は確率の問題としては単純ですが、あいまいな問題文をあいまいと感じさせずに混乱した解釈に引き込む問題だと思います。

 そこで、事前確率を尋ねられていると感じるのか、条件付確率を尋ねられていると感じるのか、それとも、特に意識しないのか、問題の設定によってどのように感じ方が変化するかを確かめようとツイッターのアンケートをしました。しかし、残念ながら、フォロワーがわずかしかいない零細アカウントのためカウンターはゼロのままでした。初めてアンケート機能を使いましたが、フォロワー数が私より二桁ほど多いアカウントの人が使うものですね。恥をかいてしまいました。

 予想では、問1、問2は1/2の回答、問3、問4は1/3の回答が多いと思いましたが確かめることはできませんでした。問1は寝覚め姫視点、問2から4は第三者視点の違いがありますが、基本的に同じ問題を違う表現にしただけです。

 なお、問5、問6は、眠った眠り姫が存在しなくなる異世界バージョンです。「眠り姫問題」では眠っている(コインが表で火曜日)出来事が無視されやすいため、それならと、最初から存在を消してしまったものです。このケースでは、最初から寝覚めている3つの出来事しかありませんので、寝覚めて質問を受けていることは、範囲を狭める条件にはならず、問5は、事前確率を尋ねていることになります。問6は問5と同じ設定で月曜日という条件付き確率を尋ねています。「眠り姫問題」の問3に対応しています。この場合、コインが表の確率は2/3になりますが、別にパラドクスとは感じないと思います。「眠り姫問題」でパラドクスが起こったと混乱するのは、別の問題である問1から問4と問5、問6が頭のなかで区別できずに混じってしまったためでしょう。

  • いくつかのタイプの確率問題

 確率は0~1の分数です。確率の問題は、言語で表現した設定から、分子と分母をどのような数にするのが妥当かを問いかけます。言語表現の解釈が明確に定まる場合でも、誤解釈はあり、その代表例が「モンティ・ホール問題」です。誤解釈に気づくのが難しい場合、大論争になりますが、いずれ決着します。

 また、解釈が定まらず、それが分かりやすい場合は、あいまいな問題だと誰もが考えるので、問題の不備とされて終りです。分かりにくい場合は違う解釈をする者の間で大論争になります。この場合はそれぞれの立場の者は自分の解釈に自信があるので、別の立場の解釈もあることに気づかないと論争は決着しません。どちらかが間違っているわけではないからです。違う問題について考えているのに同じ問題だとお互いに勘違いしている状況です。設定に不備のある「もう一人も女の子の確率問題」がこの例です。

 以上とはまた一風変わった「眠り姫問題」は、あいまいな問題の異なる解釈が一人の人間の頭の中でせめぎあう面白い例だと思います。どちらかの立場に決めてしまえばスッキリしますが、なかなかそうは割り切れない非現実的な設定になっています。二つの立場は両立しませんのでパラドクスに思えます。現実的な設定にするとどちらかの立場に落ち着くのでパラドクス感は消えますが、あいまいな設定が残っていれば、違う立場との論争は続きます。

 アンケート問1は「眠り姫問題」とほぼ同じ非現実設定で、なおかつ眠り姫視点なのでパラドクス感が強くなります。問2は第三者視点なので問1とは違う問題だと感じる人もいるようですが、寝覚めた眠り姫と第三者に与えられた情報は全く同じです。問3と問4は現実的設定でパラドクス感はありませんが、違う立場での決着のつかない論争はあるかもしれません。

  • 多義図形、不可能図形

 錯視の一種に「多義図形」、「不可能図形」があります。

www.psy.ritsumei.ac.jp

www.psy.ritsumei.ac.jp

 多義図形の中でも、だまし絵タイプでは片方しか見えない場合があって、別の見え方をする人と論争になったりします。不可能図形はパラドクスのような不思議な印象があります。この言語版が「眠り姫問題」ではないでしょうか。立体を平面上に表現すると情報が不足するので二通りの解釈ができるように、現実の出来事を言葉で表現すると二通りの解釈が可能になる場合があります。日常会話でも「そういう意味じゃなくて」という場面はよくあり、お笑いのネタにもなっています。また不可能図形は先入観のため不可能に見えるのですが、実際に立体として作ることもできます。これに対応しているのが問6です。下記のリンク先の説明を参照してください。不可能に見えるのは「連続している」、「平面である」、「直角である」と勝手な先入観があるからで、「非連続」、「局面曲面」、「非直角」にしてしまえば不可能図形立体が出来上がります。

不可能立体の進化

 

「眠り姫問題」2021/04/01 時点でのまとめ

  •  結論(多分)

 3月15日に「現時点のまとめ」をしました。「1/3」の答えが妥当というものでした。その後、nananana0110さんから貴重なコメントを頂き、「1/3」と「1/2」の両方の解釈が可能なあいまいな問題と思うようになりました。それでも、数日前までは、問題の設定を使うのなら「1/3」と考えるのが自然だと思っていました。しかし、「1/2」と考える人がどのように感じているか、自分の当初の直観で「1/2」と思ったのは何故か、を思いだし、さらに「1/3」に意見を変えた理由を考えてみると「自然」とは感覚的なもので、人によって感じ方が違い、両者に優劣などないというところに落ち着いてきました。どうとでも解釈できるあいまいな問題だという結論です。

  •  それぞれの解釈

 それぞれの解釈をまとめます。まず、前提の確率を考える「出来事」は次の4つです。

①表がでた後の月曜日に寝覚め、質問を受ける。

②表がでた後の火曜日に寝ていて、質問は受けない。

③裏がでた後の月曜日に寝覚め、質問を受ける。

④裏がでた後の火曜日に寝覚め、質問を受ける。

 これらが実験中の総ての可能性で、また、これらを同等と考えて、それぞれの確率は「1/4」とします。

 「1/2」派は、次のように考えます。問2は「さあ、あなたは目覚めた。表 である確率は?」であり、「さあ、あなたは目覚めた」は単なる今の状態を述べているだけで、条件ではないのだから、

  (①+②)÷(①+②+③+④)=1/2

である。つまり事前確率を尋ねられたと解釈します。

 これに対して、「1/3」派は、問2は「さあ、あなたは目覚めた。表 である確率は?」であり、目覚めた状態での確率を尋ねているのだから、

  ①÷(①+③+④)=1/3

である。つまり、目覚めたという条件付き確率を尋ねられたと解釈します。

 では、問3「さあ、あなたは目覚めた。今は月曜日である。表である確率は?」については、各派はどのように考えるでしょうか。

 「1/2」派は、問2の「さあ、あなたは目覚めた」が確率を出す条件とは考えずに単なる今の状態を述べているだけと考えたのですから、問3も同じように事前確率を問われていると解釈して、

  (①+②)÷(①+②+③+④)=1/2

と答えるのが首尾一貫します。これでなんの問題もパラドックスも生じません。

 これに対して「1/3」派は、月曜日という条件付き確率を尋ねられたと解釈し、

  ①÷(①+③)=1/2

と答えます。「1/2」派と考え方は違いますが、結果は同じです。なお、「眠り姫問題」ではたまたま同じだけで、一般的には違ってきます。

 また仮に「1/2」派が、問23は条件付き確率と解釈しても、一貫性に欠けますが、違う質問ですから別にいいでしょう。

 なにもパラドックスはないのにあるように感じるのは、何故でしょう。私の場合は、問2を事前確率と解釈して(自覚はなかったが)1/2としたのに、

 ①÷(①+③+④)=1/2

 だと勘違いしていました。これだと①は1/2となって、問3の答えが2/3になるのでパラドクスめいてきます。この勘違いが起こるのは②は最初から存在しないような気がするからです。意識がない姫は存在しないと考えてしまうわけです。同時に「目覚め」も条件とは感じなくなります。目覚めている状態しか存在しないわけですから。

 私はよく知りませんが、公理論的確率論では、①~④の確率を1/4としなければならない理由はないようです。①=1/2②=0③=④=1/4 としても構いません。ただし、それは私たちが住む現実世界とは違い、眠ると存在が消えてしまう想像上の異世界なので、月曜日という条件付き確率は2/3になります。

 勘違いしなければ、どのように解釈してもパラドクスにはなりません。勘違いのパラドクスを解決するため、難解(アドホック)な理屈が考えられているようですが、そんな必要はないと思います。

  • 眠っているという条件付き確率

 眠っているという条件付き確率もありますが、残念なことに、眠っている眠り姫に質問はできません。そこで、夢の中に侵入して質問するSFっぽいことを考えたりしましたが、実験前に次のような質問をすればほぼ同じことができます。

問4「さあ、これから実験を行う。実験中、あなたが眠っている時に表である確率は?」

 また、次の質問も考えられます。

問5「さあ、これから実験を行う。実験中、あなたが寝覚めている時に表である確率は?」

 これと、実験中に行う次の質問は同じでしょうか、違うでしょうか。

問2「さあ、あなたは目覚めた。表 である確率は?」

 

 (4/3 追記)

 条件付確率の問題であることを明確にする設定はないかと考えていたら、遅読猫さんのブログに書いてありました。(今は消えていますが)

 最初にコイン投げを録画しておいて、寝覚めた眠り姫に録画のコインの表の確率を尋ねるというものです。賭けバージョンと同じですが、こちらの方が問題文としてスッキリしています。「表の録画は1回、裏の録画は2回見せられるので・・・」と考えやすいです。

 

 

現実味のない思弁「眠り姫問題」

  •  様々な条件付き確率

 今まで述べてきた、病気の診断、製品検査と「眠り姫問題」をまとめて示したのが下表です。それぞれの条件付き確率とは、陽性者のうち有病者の割合、合格品のうち旧製造機で作られたものの割合、そして質問のあった日のうちコインが表だった日の割合です。それ以上の意味はありません。ここで「眠り姫問題」の表中の助数詞は「人」ではなく「日」にあえてしました。この方が条件付き確率の意味がはっきりすると考えたからです。

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  •  条件(陽性、合格品、質問日数)の意味?

 「眠り姫問題」がモヤモヤするのは、コインが裏だった場合に行われた月曜日と火曜日の質問を2回と数えるか1回とかぞえるかあやふやなところに原因があります。眠り姫は一人しかいませんので、2回だろうと1億回だろうと眠り姫にとっては1回の質問と同じことだと考えるのは、もっともです。しかし質問は2回されています。どちらが妥当なのかという議論が延々と行われてきました。

 妥当性の判断の基準は確率を使う目的で異なります。病気の診断では陽性者が本当に病気である可能性を推測するのが目的です。その際に用いる検査は実体のあるものでその結果の陽性にも医学的な意味があります。また、製品検査の目的は、合格品が旧製造機で作られた可能性の推測が目的です。その判断に用いる検査とその結果の合否にも実体的な意味があります。

 ところが「眠り姫問題」の質問が行われた日数や、それを用いて算出した「質問した日数のうち表であった日水の割合」は、どのような目的に使うのか全く不明です。さらに質問日数は陽性や合格と違って実験者が適当に決めただけのものです。このような適当に決めた質問日数を用いて計算した事後確率「1/3」が眠り姫の現実の生活に影響するとはとても思えません。あえて考えれば「賭けバージョン」のように質問の都度に賭けを行い、それが全部有効な場合は影響します。この場合はお金という実に現実的で生活に関わる判断に役立つ確率といえます。とはいえ、こんな賭けを持ち掛ける胴元は現実にはいないですし、現実性という点では、事前確率のコインの表裏によって眠り姫の現実の生活に関わる重大事が決められるほうがまだありそうです。

 このようなことを考えると、直観的に「1/2」と感じるのは論理的ではないものの、現実感覚が反映されたヒューリスティックな勘なのかもしれません。この場合のヒューリスティック判断とは、確率の値が妥当かの判断ではなく、その前段の判断になります。どのような確率を求めよという問題と考えるのが妥当かという判断です。通常の確率の問題では、「どのような確率を求めよという問題なのか」判断をする具体的状況が述べられていて、そこから論理的に判断できるのですが、「眠り姫問題」にはないため、ヒューリスティックに判断するわけです。しかも無意識に行い、自覚がないので混乱するのではないでしょうか。

  •  絶対に見解が一致しない議論

 ギャンブルを途中で中止せざるを得ない場合、掛け金の払い戻しを行わなければなりません。中止時点の優劣を判断して、妥当な配分を決めるために確率は発達したと言われています。お金という最も現実的な問題を処理するために考え出されたわけです。確率にもいろいろあり、どれを使うのが妥当かは解決したい問題によります。解決したい問題が不明ではどの確率を使ってよいのか分かるはずがありません。

 建築物の構造計算をするには先ず現実の建物をモデル化します。モデル化にはさまざまな方法がありますが、現実の建物を反映したものでなければなりません。肝心の現実の建物が不明では、どのモデル化が良いかなど分かるはずがありません。

 ウィキペディアには、「眠り姫問題」について「専門家同士でも答えが分かれるパラドックスでもある。」と書いてあります。「専門家」とは何の専門家なのかわかりませんが、答えが分かれるのは、事実のようです。ただし、パラドックスだからではなく、違う問題を考えているからでしょう。しかも、一人で。

 

(追記)

 「1/2」はヒューリスティックな勘と書きましたが、「1/3」も同じですね。条件付き確率と考えたのは、問題文の設定は総て使うはずだという判断で、これは選択問題で同じ選択が3問以上続くことはないという判断と似たようなものです。論理的に判断できる情報は無く、あいまいな問題と思います。

 最初は「1/2」に決まっていると思いました。ただ、明確に事前確率だという自覚がなかったので、裏の場合の「1/2」を月曜日と火曜日に1/4ずつ振り分けてしまい、その結果、月曜日と眠り姫に教えた時の表の確率が2/3になってしまい矛盾だと混乱しました。事前確率なら質問の回数は無関係なので振り分ける必要などなかったんですね。

 その後、「1/3」とすれば「1/2」のような矛盾(勘違いだったが)が起こらないので「1/3」が正解という意見に傾いたのですが、ちゃんと考えれば優劣はないと思います。

 

 

 

「眠り姫問題」ー「1/3」への違和感(その2)

  • ヒントを頂いた

 「眠り姫問題」について、ツイッターで少しやり取りがありました。といっても、相手の方からの疑問に私が答える一方的なものでしたが。そのうち同じ質問が繰り返されるなど様子がおかしくなってきたので打ち切りました。それでも最初の頃は、私の疑問のヒントになることがあったので、それに関する記事を書き始めていました。それがこの記事です。

 私の疑問とは、前の記事でも述べた「1/3」への違和感の原因です。以前に「賭けバージョン」を考えましたが、相手の方も類似の「クジバージョン」を考えていて、「1/2」になるはずとの意見でした。クジバージョンでは、コインの代わりに当たりの確率が百万分の1のクジを用います。ハズレの場合は眠り姫を1回だけ起こして「ハズレの確率」を質問します。アタリの場合は、1億回起こして、その都度、同じ質問をします。

 「質問された」という条件付きでのハズレの条件付き確率を計算すると、1%以下になりますが、百万分の1の確率でしか当たらないクジが質問の回数を増やすだけで99%以上になるはずがなく、おかしいというご意見でした。

 「おかしい」と言われても、アタリクジ100枚(1億/百万)とハズレクジ1枚の中から1枚抜きとれば、そういう確率になるわけですが、そこで、はたと気づきました。(ヒントを与えてくれた相手の方に感謝します。)おそらく、アタリクジであるかどうかを当てる問題ではなく、実際に賞金をもらえると考えられたのではないでしょうか。そして、1億回分の賞金をもらえるのではなく、1回分しかもらえないと。確かにクジは1枚しかないのですから当たっても1回しか賞金は払わないと考えるのが自然です。その場合にアタリの確率とは、賞金がもらえる確率と考えれば、百万分の1です。ただし、事前確率を質問しただけの自明過ぎるつまらない問題になってしまいます。問題のさまざまな設定は全く余計な目くらましに過ぎないことになります。これに対して、私が考えた賭けバージョンは、質問の都度、賞金を払います。質問される回数が多い方に賭けた方が有利に決まっています。これは条件付き確率の問題になります。

  • あいまいな問題

 よく考えてみれば、「質問された時にハズレ(表)である確率は?」という問は事前確率を尋ねているのか、条件付き確率を尋ねているのかあいまいなところがあります。条件付き確率の場合は「今行っている質問が、ハズレクジ(表)判明後の質問である確率は?」と尋ねると明確になります。また事前確率を尋ねたいなら、「実験開始直後にコインを振った時に表がでた確率は?」、「実験開始直後にクジを開いたらハズレであった確率は?」と言えば明確です。

 要するに、繰り返される質問を全部カウントするのか1回としか考えないかという問題だったのです。それは出題者が決めるしかありません。賞金は質問毎に支払われるのか、1回しか支払われないのかを回答者が議論しても仕方ありません。

 ちなみに、以前に次の「製品検査バージョン3」を考えました。

製品検査バージョン3

旧工作機械は、1/2の確率で合格品を作る。新工作機械はすべて合格品を作る。

コインを投げ表がでたら旧工作機械で、裏が出たら新工作機械で1個だけ製品を作る。その製品は、合格品であった。さて、コインが表だった確率は?

  この問題の場合に、条件付き確率を尋ねるなら「合格品が旧工作機械で作られた確率は?」で、事前確率なら「コインを確認した時に表だった確率は?」とでもすればよいでしょう。ただ、どちらかと言えば条件付き確率と解釈する人が多いようです。

 「眠り姫問題」ではコインを振ったのは1回だけですし、クジも1枚しかないので、事前確率感が強くなるのではないでしょうか。製品検査バージョン3もコインを振ったのは1回だけですが、条件付き確率の条件である合格品であることが意識されやすくなっています。一方、眠り姫問題では寝覚めが条件であると意識しにくいのかもしれません。

  問題は、1/2と考える立場の人でも明確に事前確率の問題だとは自覚していないらしいことです。前述したように事前確率なら、眠り姫の記憶消失や何回も質問する設定は、全く不要な情報ということになりますが、1/2の意見でも、その情報は必要と感じるらしく、明確に事前確率という立場の人はあまりいないようです。事前確率感は強いものの、明確な自覚がなく、奇妙な問題だと感じるようです。一方、「製品検査バージョン3」では事前確率感があまりないので、混乱しないのだと思います。「眠り姫問題」には「1/2」と答える人も「製品検査バージョン」だと[1/3]と答えます。そして両者は全く別の問題だと感じるようです。

 事前確率なのか条件付き確率なのか、どちらが問題文の解釈として妥当かという国語的な議論なら、数学的な議論は起きないはずです。どちらかに決めれば数学的には単純なので、議論の余地はありません。しかし、事前確率でもなく条件付き確率でもないパラドックスめいた奇妙な数学の問題のように思えるのですね。その結果、混乱するのではないでしょうか。少なくとも、私にはそういう混乱があったように思います。

 

【後書き的な雑文】

 以前に数学者の方が「1/2」と「1/3」の両方の立場があり得るけれども、ギャンブラーの立場なら「1/2」を採用する、と言われていて不思議でした。その時は、眠り姫が目覚めた時に行った賭けが全部成立する「賭けバージョン」が頭にあったので、ギャンブラーの立場なら「1/3」だと思ったからです。しかし1回分の賞金しかもらえない「クジバージョン」なら「1/2」ですね。

 これには、さらに続きがあります。ギャンブルが「表(ハズレクジ)」と「裏(アタリクジ)」のどちらかを当てる二択ではなく、300枚のチップを「表(ハズレクジ)」と「裏(アタリクジ)」に配分して賭ける場合、どのような配分にすべきかという問題です。困ったことに、どちらのバージョンなのか、胴元が教えてくれないあやふやなギャンブルなのです。あやふやで不確実な情報でも戦略を考えるのがギャンブルなので、最良の戦略はあります。

「眠り姫問題」ー賭けバージョン」にほぼ答えが書いてあります。

 

何も不都合はないのに「1/3」に違和感があるのは何故?「眠り姫問題」

  • 何も不都合はないのに、違和感がある

 「眠り姫問題」は条件付き確率の問題です。前の記事に書いたように、淡々と考えれば「1/3」という答えが出ます。事前確率を問う問題と解釈する以外では、「1/2」には、決してなりません。なぜなら、

・コインの表と裏が出る事前確率P(A)=P(a)=1/2

(コインに歪みはない)

・表で目覚めている確率P(A∧B)と表で目覚めない確率P(A∧b)が等しい

(表なら月曜に目覚め、火曜日は寝覚めない)

・裏で目覚めない確率P(a∧b)=0

(裏なら月曜日も火曜日も目覚める)

の3つの条件を満たす、P(A∧B)=P(a∧B)となる答えはありません。従って、目覚めているという条件付き確率P(A|B)=P(A∧B)/{P(A∧B)+P(a∧B)}は1/2にはなりません。

 極めて単純な結論であり、「1/3」だと矛盾が生じるとか理屈に合わないということは一切ないのに、「1/3」に違和感があるのは何故なのかを暇つぶしに考え続けてきました。ただただ直観に反して違和感があるというだけです。そしてこの違和感は「眠り姫問題」だけでなく条件付き確率一般に感じられるものとどうやら同じらしいということも以前の記事に書きました。その点をもう少し考察してみます。違和感にも強弱があって、多数回試行がイメージしにくい1回だけの出来事の場合強くなるようです。

 

  • 条件付き確率の条件が意識されにくくなる

 単純な条件付き確率では、違和感が少ないものもあります。例えば、サイコロを振って奇数の目が出る事前確率は1/2です。これに4以上の目という条件を付ければ1/3になります。数式で書けば、

 P(奇数)=1/2P(奇数∧4以上)=1/6P(4以上)=1/2

 以上より、P(奇数|4以上)= P(奇数∧4以上)/ P(奇数)=1/3

 しかし、こんな数式など使わずに、4以上の奇数の目は1個、4以上の目は3個だから、1/3と普通は考えます。頻度を数え上げて、最後に割り算をして確率にするほうが感覚的に分かり安いからです。頻度を数えるのは多数回試行で考えるということです。これに対して最初から確率を用いて条件付き確率の公式を使うのは感覚的に少しわかりにくくなります。

 そして、頻度で数えることは出来るけどなんとなく、数えにくい問題もあります。以前の記事の製品検査バージョンを再掲します。

 

製品検査バージョン2

 旧工作機械と新工作機械の2台を持つ工場がある。どちらの機械のも1日当たり生産能力は同じである。ただし、旧工作機械は製品の半数が不合格品になる。それに対し新工作機械は全部合格品になる。ある日に生産された合格品から1個を取り出した時、旧工作機械で作られた製品である確率を求めよ。

 

製品検査バージョン3

旧工作機械は製品の半数が不合格品になる。新工作機械は全部合格品になる。コインを投げ表がでたら旧工作機械で、裏が出たら新工作機械で1個だけ製品を作る。その製品は、合格品であった。さて、コインが表だった確率は?

  

 バージョン2は多数の合格品から1個抜き出した製品が旧工作機械で作られた確率を尋ねています。それに対して、バージョン3は1個だけしか作っていない製品について尋ねています。前者では「合格品」という条件の使い方が分かり安くなっています。新旧工作機械で100個ずつ作ったのであれば、旧50個と新100個、計150個の合格品から1個を取り出した時の確率と自然に考えられます。一方後者のバージョン3では、最初から確率で考えるように誘導され、合格品という条件をどのように反映してよいか直観的に分かりにくいです。

 確率で表せば、下式になりますが、なんとなくピンと来なくなります。

  P(旧|合格品)=P(旧∧合格品)/P(合格品)

 1つだけしかない製品が合格品である確率P(合格品)なるものがイメージしにくい上に、その製品が旧工作機械で作られた確率P(旧|合格品)となると、モヤモヤしてきます。

  •  条件らしくない条件

 「眠り姫問題」では更に「目覚め」という条件を意識させない仕掛けがあります。通常は「条件」を付ければ範囲を狭めることになります。4以上という条件を付ければサイコロの目の可能性は6から3に減ります。ところが「眠り姫問題」では、逆に広げているように見えます。コインの裏が出た100回の内、目覚めている50回に制限するのは条件という感がしますが、1回しか出ていない裏で2回目覚めさせるのは、逆に拡大しているように感じます。しかし、これは相対的なトリックで、月曜日と火曜日の二つの状態があるうち、表の場合は目覚めていない火曜日を排除する制限です。月表火表月裏火裏から火表を引くのと、月表月裏火裏を加えるのは同じです。

 「眠り姫問題」で考えなければならない出来事は、眠り姫の状態です。コインの表裏、月曜か火曜か、目覚めているか眠っているかの組合せで8つの状態があります。目覚め状態という条件で、表である確率を尋ねています。ところが、前述のように月表月裏火裏を加えるイメージだと、月裏火裏が一つの出来事と認識されやすくなります。月裏火裏が一つの出来事とするならば表の場合の月表火表も同様に一つの出来事とすべきですが、それはしにくいというご都合主義が人間の感覚にはあるようです。ご都合主義をやめれば、寝覚め・眠りという区別もなくなります。それは結局、表と裏の二つの状態のうち表の確率すなわち事前確率を尋ねていることになります。

 

  • 条件らしい条件バージョン

 月裏と火裏を一つの出来事として扱い条件付き確率の条件らしくして、さらに表の場合の目覚めと眠りをご都合主義ではなく二つの出来事として扱えるようにしたバージョンです。このバージョンでは眠り姫は記憶を失う必要はありません。

 

 日曜日に投げられたコインが表だった場合、月曜の朝に再度コインを投げ、表だったら眠り姫を起こし質問をする。裏なら起こさない。日曜に投げられたコインが裏だった場合は月曜日に起こして質問する。

 質問を受けた時にコインが表だった確率は?

 

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