- 様々な条件付き確率
今まで述べてきた、病気の診断、製品検査と「眠り姫問題」をまとめて示したのが下表です。それぞれの条件付き確率とは、陽性者のうち有病者の割合、合格品のうち旧製造機で作られたものの割合、そして質問のあった日のうちコインが表だった日の割合です。それ以上の意味はありません。ここで「眠り姫問題」の表中の助数詞は「人」ではなく「日」にあえてしました。この方が条件付き確率の意味がはっきりすると考えたからです。
- 条件（陽性、合格品、質問日数）の意味？
「眠り姫問題」がモヤモヤするのは、コインが裏だった場合に行われた月曜日と火曜日の質問を２回と数えるか１回とかぞえるかあやふやなところに原因があります。眠り姫は一人しかいませんので、２回だろうと１億回だろうと眠り姫にとっては１回の質問と同じことだと考えるのは、もっともです。しかし質問は２回されています。どちらが妥当なのかという議論が延々と行われてきました。
妥当性の判断の基準は確率を使う目的で異なります。病気の診断では陽性者が本当に病気である可能性を推測するのが目的です。その際に用いる検査は実体のあるものでその結果の陽性にも医学的な意味があります。また、製品検査の目的は、合格品が旧製造機で作られた可能性の推測が目的です。その判断に用いる検査とその結果の合否にも実体的な意味があります。
ところが「眠り姫問題」の質問が行われた日数や、それを用いて算出した「質問した日数のうち表であった日水の割合」は、どのような目的に使うのか全く不明です。さらに質問日数は陽性や合格と違って実験者が適当に決めただけのものです。このような適当に決めた質問日数を用いて計算した事後確率「１/３」が眠り姫の現実の生活に影響するとはとても思えません。あえて考えれば「賭けバージョン」のように質問の都度に賭けを行い、それが全部有効な場合は影響します。この場合はお金という実に現実的で生活に関わる判断に役立つ確率といえます。とはいえ、こんな賭けを持ち掛ける胴元は現実にはいないですし、現実性という点では、事前確率のコインの表裏によって眠り姫の現実の生活に関わる重大事が決められるほうがまだありそうです。
このようなことを考えると、直観的に「1/2」と感じるのは論理的ではないものの、現実感覚が反映されたヒューリスティックな勘なのかもしれません。この場合のヒューリスティック判断とは、確率の値が妥当かの判断ではなく、その前段の判断になります。どのような確率を求めよという問題と考えるのが妥当かという判断です。通常の確率の問題では、「どのような確率を求めよという問題なのか」判断をする具体的状況が述べられていて、そこから論理的に判断できるのですが、「眠り姫問題」にはないため、ヒューリスティックに判断するわけです。しかも無意識に行い、自覚がないので混乱するのではないでしょうか。
- 絶対に見解が一致しない議論
ギャンブルを途中で中止せざるを得ない場合、掛け金の払い戻しを行わなければなりません。中止時点の優劣を判断して、妥当な配分を決めるために確率は発達したと言われています。お金という最も現実的な問題を処理するために考え出されたわけです。確率にもいろいろあり、どれを使うのが妥当かは解決したい問題によります。解決したい問題が不明ではどの確率を使ってよいのか分かるはずがありません。
建築物の構造計算をするには先ず現実の建物をモデル化します。モデル化にはさまざまな方法がありますが、現実の建物を反映したものでなければなりません。肝心の現実の建物が不明では、どのモデル化が良いかなど分かるはずがありません。
ウィキペディアには、「眠り姫問題」について「専門家同士でも答えが分かれるパラドックスでもある。」と書いてあります。「専門家」とは何の専門家なのかわかりませんが、答えが分かれるのは、事実のようです。ただし、パラドックスだからではなく、違う問題を考えているからでしょう。しかも、一人で。
（追記）
「1/2」はヒューリスティックな勘と書きましたが、「1/3」も同じですね。条件付き確率と考えたのは、問題文の設定は総て使うはずだという判断で、これは選択問題で同じ選択が3問以上続くことはないという判断と似たようなものです。論理的に判断できる情報は無く、あいまいな問題と思います。
最初は「1/2」に決まっていると思いました。ただ、明確に事前確率だという自覚がなかったので、裏の場合の「1/2」を月曜日と火曜日に1/4ずつ振り分けてしまい、その結果、月曜日と眠り姫に教えた時の表の確率が2/3になってしまい矛盾だと混乱しました。事前確率なら質問の回数は無関係なので振り分ける必要などなかったんですね。
その後、「1/3」とすれば「1/2」のような矛盾（勘違いだったが）が起こらないので「1/3」が正解という意見に傾いたのですが、ちゃんと考えれば優劣はないと思います。
