「二つの封筒の問題」とか「二つの箱の問題」という確率の問題があります。私は随分以前に数学掲示板で話題になっているのを見て知りました。検索すると、解説も出てくるのでご存知の方も多いと思います。私が付け加えることもないのですが、わかりやすい説明を考えてみました。数学的な解説というよりも、人間の脳が見落としがちなこと、陥りがちな間違いというような視点です。確率問題は数学の理論自体は簡単でも、現実の問題の解釈で間違いを犯しやすいと思います。
・2つの封筒があり、一方には他方の2倍のお金が入っている。一方の封筒を選んで中身を見た後に、もし望むなら封筒を取り替えてよい。
このとき封筒を取り替えるべきか？
実は、これだけでは条件が不足ですが、大抵の人は、「あらゆる金額の組み合わせが同じ確率」という条件を想定するようです。つまり、1円と2円の組み合わせも、1億円と2億円の組み合わせの確率も同じと考えるわけです。実は私もそうでした。
そう仮定すると、矛盾が生じるように思えるのがこの問題のミソです。一つの封筒を選び、1万円入っていたとすると、もう片方には、5千円か2万円が入っていることになります。5千円と1万円の組み合わせと1万円と2万円の組み合わせの確率は同じなので、選ばなかった封筒に入っている金額の期待値は、5000×1/2＋20000×1/2＝1万2500円になり、交換したほうが得となります。このことは、入っていた金額にかかわらず、反対側の封筒を選んだ場合も言えますから、矛盾になるような気がするわけです。
しかし、これは矛盾ではありません。矛盾のように感じるのは、一つの封筒を開いたとういう条件の下での事後確率（条件付き確率）と、まだ開いていない時点での事前確率を混同しているからです。Aの封筒を開いたら1万円入っていることを確認した状態では、あらゆる組み合わせの可能性のほとんどが消え、二つの可能性しか残りません。この二つの可能性は同じ（この仮定が非現実的なのですが）なので、Bの封筒に変えた方が得ということになります。同様に、Bの封筒を開いた場合は、Aに変えた方が得です。さらに、どちらも開いていない場合は、どちらを選んでも封筒に入っている金額の期待値（ちなみに無限大という非現実的な値ですが）は同じです。つまり、3つの場合は全部違う場合なのですから、全然矛盾しないのです。
もう少し説明すると、まだ封筒を開いていない時点で、「Aを選んだ方が得」と「Bを選んだ方が得」の両方が言えるなら矛盾です。しかし、まだ封筒を開いていいない時点で、「Aを開いた後なら、Bに交換したほうが得」と「Bを開いた後なら、Aに交換したほうが得」の両方が言えても矛盾ではありません。確定的にAかBのどちらかが得とは言っていないことに注意してください。「○○ならA」と「△△ならB」と言って、○○と△△が同じことなら、矛盾ですが、違いますから矛盾ではありません。○○と△△の中にもAやBが出てきて再帰的になっていることと、無限の期待値という非現実的な設定によって、矛盾らしく見えるわけです。
この問題の巧妙なところは、問題設定では曖昧にしていることを、回答者が勝手に非現実的な状況を想定して矛盾を感じることです。
このゲームの胴元の資金も現実には限りがありますから、あらゆる組み合わせの可能性を同じに、つまり期待値を無限大にすることはできません。例えば、資金が10円しかなかったら、可能性は、1円と2円、2円と4円、3円と6円の3種類の組み合わせしかできません。これらが総て同じ１/３の確率だとすると、様々状況での期待値は次のようになります。
・一つの封筒を開いたら1円だった。その時点で、もうひとつの封筒の金額の期待値
2円
・一つの封筒を開いたら２円だった。その時点で、もうひとつの封筒の金額の期待値
1×1/2+４×1/2=2.5円
・一つの封筒を開いたら３円だった。その時点で、もうひとつの封筒の金額の期待値
6円
・一つの封筒を開いたら４円だった。その時点で、もうひとつの封筒の金額の期待値
2円
・一つの封筒を開いたら６円だった。その時点で、もうひとつの封筒の金額の期待値
3円
・まだ封筒を開いていない時点で、A（B）の封筒に入っている金額の期待値
1×1/6＋２×2/6＋3×1/6+4×1/6＋6×1/6=3円
なんら、矛盾も不思議なことも起こりません。一つの封筒を開いた時点で入っている金額次第で、交換したほうが良いかどうかは変わってきます。一切、情報のない最初の時点では、どちらが有利とも言えないのは当然です。
一つの封筒を開いた時点で、開いていない封筒の金額の二つの可能性（２倍か1/2）をあらゆる場合に同じにするのは、有限の資金では不可能です。ですから現実にはこの問題のような状況はありえません。矛盾のように感じるのは、実際的に正しい反応とも言えます。 この問題は、「絶対に負けない賭け方」を連想させます。損失額の常に倍の額を賭け続ければ、いずれ負けを取り戻せ勝てるという必勝法です。或いは、ネズミ講にも似ています。現実には資金や加入者が底を尽き、その時点で破綻することが目に見えているのですが、仮に無限の資金や加入者があるのなら、確かに勝てるし、儲かります。実際的にはそんなことをしないほうが良いに決まっていますし、無限の資金を持っているところに、有限の賞金を得ても意味はありません。
