■ 悩ましい「３回コイン投げ」

　「屈辱の数学史」（マット・パーカー）を読みました。その中に、うっかり勘違いしやすい確率の問題が載っています。

　２人で次のような賭けをしたとき、どちらが勝つ確率が大きいかという問題です。

　コインを連続して投げ続け、予想した３回連続のパターンが先に出た方の勝である。ただし、３回ごとに区切るのではなく、両者の予想のどちらも出なかったら、次の1回を投げ、その前2回と合わせた３回のパターンで判定する。そのようにして1回投げるごとに判定する賭けで「あなた」が先に予想し、「私」はそれを見て、自分の予想をするならば、「あなた」の予想が先に出る確率はどのようになるか。

　3回ごとに区切っての判定でないのが少し気になりますが、３回連続の出目のパターンの確率はどれも1/8なので、後で予想したところで、じゃんけんの後出しではないので、「あなた」の勝つ確率は変わらないように思えます。著者も最初はそう思ったと書いています。しかし、実はじゃんけんの後出しと同じで、「あなた」の勝つ確率は次のようになると書いてあります。

あなたの予想　　私の予想　　　　あなたの勝つ確率

表表表　　　　　裏表表　　　　　12.5%

表表裏　　　　　裏表表　　　　　25％

表裏表　　　　　表表裏　　　　　33.3%

表裏裏　　　　　表表裏　　　　　33.3%

裏表表　　　　　裏裏表　　　　　33.3%

裏表裏　　　　　裏裏表　　　　　33.3%

裏裏表　　　　　表裏裏　　　　　25%

裏裏裏　　　　　表裏裏　　　　　12.5%

　具体的に確率を確認してみたところ、上記の二つ目まではすぐにわかりました。ところが、3番目で行き詰まってしまいました。順番にコインを投げて「あなた」の予想が先に出るパターンを調べる方針だったのですが、爆発的に調べるケースが増えてしまい収拾がつかなくなってしまいました。この過程でいろいろ面白いことに気づきましたが、それはまた別の機会にします。

　3番目の確認をあきらめかけましたが、ヒントは本に書いてありました。最初から順番に調べるのではなく、逆に調べれば簡単でした。予想したパターンが初めて出た時から前に遡って、可能なコインの表裏の出方を調べればよいのでした。解答は次の様になります。見やすいように表を〇、裏を✕で表します。

１　〇〇〇と✕〇〇の場合

　初めて〇〇〇が出る前は✕しかありえない。〇が出たのなら、1回前に〇〇〇がでたことになり、初めてではないからだ。したがって〇〇〇が出る1回前に✕〇〇が出ていて、私の勝である。結局、〇〇〇で勝つのは、初っ端に出る場合しかありえず、その確率は1/8である。

２　〇〇✕と✕〇〇の場合

　初めて〇〇✕が出る2回前までの可能なパターンを考える。〇〇、〇✕、✕〇、✕✕の4通りがあるが、可能なのは１通りだけである。

　〇〇〇〇✕　可能

　〇✕〇〇✕　1回前に✕〇〇が出ているのでありえない

　✕〇〇〇✕　2回前に✕〇〇が出ているのでありえない

　✕✕〇〇✕　1回前に✕〇〇が出ているのでありえない

　それに対して、初めて✕〇〇が出る2回前までの可能なパターンは３通りである。

　〇〇✕〇〇　2回前に〇〇✕が出ているのでありえない

　〇✕✕〇〇　可能

　✕〇✕〇〇　可能

　✕✕✕〇〇　可能

　以上より、あなたが勝つ確率は1/4である。

３．〇✕〇と〇〇✕の場合

　初めて〇✕〇が出る2回前までの可能なパターンの内、可能なのは１通りだけである。

　

　〇〇〇✕〇　1回前に〇〇✕が出ているのでありえない。

　〇✕〇✕〇　2回前に〇✕〇が出ているのでありえない。

　✕〇〇✕〇　1回前に〇〇✕が出ているのでありえない。

　✕✕〇✕〇　可能

　初めて〇〇✕が出る2回前までの可能なパターンの内、可能なのは３通りである。

　〇〇〇〇✕　可能。

　〇✕〇〇✕　2回前に〇✕〇が出ているのでありえない。

　✕〇〇〇✕　可能。

　✕✕〇〇✕　可能。

　以上より、あなたが勝つ確率は1/4である。

４．〇✕✕と〇〇✕の場合

　初めて〇✕✕が出る2回前までの可能なパターンの内、可能なのは２通りだけである。

　〇〇〇✕✕　1回前に〇〇✕が出ているのでありえない。

　〇✕〇✕✕　可能。

　✕〇〇✕✕　1回前に〇〇✕が出ているのでありえない。

　✕✕〇✕✕　可能

　初めて〇〇✕が出る2回前までの可能なパターンの内、可能なのは４通りすべてである。

　〇〇〇〇✕　可能。

　〇✕〇〇✕　可能。

　✕〇〇〇✕　可能。

　✕✕〇〇✕　可能

　以上より、あなたが勝つ確率は1/3である。