「眠り姫問題」を変な哲学に惑わされずに地道に解く

 「眠り姫問題」についてあれこれ書いてきて、これからも書くかもしれませんが、ここらで、確率の問題らしく地道に解いてみることにします。

 起こりうる状況の総てを下表に示します。同じ色で塗っているところの合計は1になります。特に条件が無い場合のコインの表裏は同じ確率なのでP(A)=P(a)=1/2です。その他の条件は、コインが表なら覚醒(月)と睡眠(火)が1回ずつあるので、P(A∧B)=P(A∧b)となり、またコインが裏なら睡眠はないので、P(a∧b)=0です。

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 この条件を満たす値は表に示した以外はあり得ません。従って、眠り姫が目覚めている(B)場合にコインが表(A)である確率(P(A|B))は、1/3です。表の事前確率ならP(A)=1/2です。

 疑念を挟む余地はほぼ無くなったと思いますが、最初は疑念だらけでした。P(A|B)を尋ねているのか、それともP(A)を尋ねているのかあやふやという意見もありますが(私はそれほどあやふやとは思いませんが)、すくなくとも、どちらであるか明確にすれば、答えはでます。パラドックスにもなりません。

 繰り返しになりますが、非現実的な設定だと「主観確率」だの「人間原理」だの、哲学的な思弁に引き込まれてしまい、地道に確率の問題として考えにくくなるのかもしれません。試しに、非現実的な設定にすると考えにくくなるのか、有名な「二人きょうだいの問題」をアレンジしてみました。

  •   「二人きょうだい問題」―眠り姫バージョン

 問1 魔法をかけられたお母さんが眠りから目覚めると記憶障害になっていました。子どもが二人いて少なくとも一人は女の子だったことだけは覚えていますが、それ以外の記憶が消えてしまいました。もう1人も女の子である確率は?

 

問2 魔法をかけられたお母さんが眠りから目覚めると記憶障害になっていました。子どもが二人いて上の子が女の子だったことだけは覚えていますが、それ以外の記憶が消えてしまいました。下の子も女の子である確率は?

 

shinzor.hatenablog.com

(3/25 追記)

 月曜日の場合と火曜日の場合の表も追加します。

 同じ色に塗っているところの合計は1/2で、月曜日と火曜日を加えると本文の表になります。

 当然、月曜日で目覚めていて表の確率は、 P(A|月∧B)=(1/4)/(1/2)=1/2。

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(3/26追記 記憶は関係無い)

   本文と3/25の追記に示した3つの表を眺めていて、混乱した原因が見えてきました。

 私の混乱は、次のようなことです。コインが裏だった場合は、月曜日と火曜日の2回目覚めるのですが、そのことをもってして、コインが表だった場合(月曜日の1回しか寝覚めない)の2倍起こりやすいと考えてよいのか疑問でした。月曜日の寝覚めと火曜日の寝覚めは一連の出来事なので、2回ではなく1回と数えるべきではないと思いました。記憶がなくなるので2回のような気がするだけで現実には1回の「出来事」ではないかと。そのように考えると、表の確率も裏の確率も1/2であり、裏の場合は月曜日と火曜日の2回目覚めるので、それぞれ1/2の1/2で1/4となるのではないか。ところが、そうだとすると、眠り姫に「今日は月曜日である」と教えれば、表の確率が1/2÷(1/2+1/4)=2/3になってしまい、「はて?」となりました。

 今、考えてみるとかなり混乱しています。月曜日の四分表を見れば分かるように、確かに裏が出て月曜日に目覚めている確率P(a∧B∧月)は1/4です。しかし、表が出て月曜日に目覚めている確率P(A∧B∧月)も1/4なので、月曜日で目覚めているという条件で表の確率P(A|B∧月)は1/4÷(1/4+1/4)=1/2です。一方、曜日を問わず、目覚めているという条件での表の確率P(A|B)は、月曜日と火曜日を足し合わせた本文の四分表に付記したように1/3です。3枚の四分表が入り混じって混乱していたのですね。四分表を書き下してやっとわかりました。

 実は、眠り姫が覚えていようが忘れていようが起こっている「出来事」に違いは全くありません。この問題の「出来事」は、「コインが表(裏)になった」、「月曜日(火曜日)である」、「寝覚めている(寝ている)」の三つだけです。それぞれに二通りの可能性があるので、8つの「出来事」の可能性があり、それが月曜日と火曜日の四分表の黄色部分になります。尋ねられている確率とは、寝覚めている時の「出来事」の内、コインが表である「出来事」の割合です。すなわち、四分表の目覚めている(B)欄の合計で、そのうちのコインが表(A)の欄の合計を割れば求められます。

 また、四分表の各欄の確率は、問題文の記述から決まります。月曜日と火曜日は同等に起こりうるので、各曜日の四分表の合計は1/2ずつになります。表と裏の確率も同じなので、P(A)とP(a)に1/4ずつ配分します。それを問題文の眠り姫の目覚めと眠りの記述に応じて、4つの黄色部分に配分します。例えば、月曜日には目覚めているので、覚醒(B)欄に1/4全部を割り振り、睡眠(b)欄は0です。

 以上の作業には、記憶の有無などは全く関係しません。ただし、記憶があるという現実的な設定では、何曜日なのかが眠り姫に分かってしまいます。それを分からないものとして考えなければいけません。この非現実的な設定への違和感が混乱を引き起こしたのだと思います。月火合計の四分表で考えるべきところを、月曜日の四分表で考えるなど、思考がフラフラと定まらず二転三転してしまいました。

 別に記憶があるという設定でも「寝覚めている時の出来事の内、コインが表である「出来事」の割合」は同じで1/3です。ただし記憶があれば眠り姫に曜日が分かってしまいますが、分からないとして考えよという問題が「眠り姫問題」なのですね。曜日を分からないことにするための設定が記憶の消失です。

 ところで、自分そうだったのですが、直観では1/2と感じるのが普通じゃないでしょうか。「眠り姫問題」は、錯視図形みたいなものだと思いました。錯視図形は、視覚では線の長さを錯覚するのが「正常」です。客観的な長さは定規で測る必要があります。確率の問題の場合、定規は何かと言うと地道に「出来事」を数え上げることかと思います。「眠り姫問題」は錯視図形のような面白さがあって、楽しめました。ただ、注意すべき点もあります。私は途中で変な哲学的思弁に惑わされかけました。幸いにして奇妙な世界の迷子になることなく、なんとか生還出来ました。

 

「眠り姫問題」―自覚しにくいあいまいさ

 前記事追記の製品検査バージョン2では多数の合格品から抜き出す設定です。そこのところが「眠り姫問題」とは違うと感じる人もいるかもしれません。そこでより近い設定にしてみたのが次のバージョン3です。

  • 製品検査バージョン3

コインを投げ表がでたら旧工作機械で、裏が出たら新工作機械で1個だけ製品を作る。その製品は、合格品であった。さて、コインが表だった確率は?

  バージョン2だとほとんどの人が1/3と答えると思いますが、バージョン3ではひょっとしたら1/2と言う人も出てくるかもしれません。しかし、確率の問題として扱う場合の構造は全く同じです。違うのは製品を多数生産するのか、1品しか生産しないかという点です。

 確率クイズで紛糾するのは大抵、1回の出来事についての確率です。1回の出来事の確率は考えにくく、勘違いもしやすい傾向があります。それに比べ、頻度の形式で考えると分かりやすくなります。製品検査バージョン2は頻度で考えやすくなっています。 「旧製作機械が1台あり、200個生産すれば100個の合格品と100個の不合格品が出来る。新工作機械も同じく1台あって、200個生産すれば200の合格品が出来る。都合300個の合格品の内、旧工作機械で作られたものが100個なので・・・」と考えやすいわけです。一方のバージョン3になると、そうはいかず、考え違いを起こしやすくなるのではないでしょうか。

 どこで考え違いを起こしやすいかというと、条件を考えるところです。合格品を選んだことが無視され、そのため事前確率のままの1/2のような気もするのではないでしょうか。

 これと逆に事前確率を無視する例が検査陽性であった場合に感染している確率です。感染していれば99%の確率で陽性となる精度の高い検査で陽性になれば感染間違いなしと早計しがちです。しかし、そもそも、その感染症が極めて稀なもの、つまり事前確率が小さければ、感染している確率はそれほどでもありません。見逃しを小さくしなければならない人間ドックでは特にそうで、引っかかっても精密検査で異常なしになった経験は大抵の人にあるのではないでしょうか。「日本の人口が1億3千万人、そのうち感染者が1万人、非感染者が1億2999万人いて、それに検査をして・・・」と考えていけば事前確率は無視されません。ところが、世界で唯一の存在である自分が検査を受けた場合には、そんなことはあまり考えません。

 ところで、製品検査バージョン3では「合格品であった場合に、コインが表だった確率は?」ではなく「その製品は、合格品であった。さて、コインが表だった確率は?」と書きました。たまたま合格品であったに過ぎないというニュアンスにして、「合格品であった場合」という条件を曖昧にするためです。そうすることで事前確率を尋ねているとも解釈できます。しかも、あいまいさを自覚しにくい仕掛けになっています。それによって混乱させようという魂胆でした。「眠り姫問題」にもそういう自覚しにくいあいまいさがあると思います。

「眠り姫問題」ー賭けバージョン

 前記事までのコメント欄のnananana0110さんのご教示で「眠り姫問題」はパラドックスでもなんでもないことが明確に分かりました。実験中に寝覚めた姫への「問2」は実験前の「問1」と同じとも解釈できるあやふやさがあるというだけでした。

 一方、世間(ツイッター上など)では、「眠り姫問題」はパラドックスではないかという意見もあります。眠り姫は、寝覚めてから何も新しい情報を与えられずに「問2」を問われますので実験前の問1と同じ1/2になるように思えます。私も最初は、1/2に決まっていると思いました。しかし、それだと矛盾が生じるんですね。実は質問をされることが追加の情報なのですが、それが感覚的に分かりにくいわけです。感覚的に分かってもらうために「眠り姫問題」のいろんな言いかえバージョンを作ってみましたが、それは別の問題だと受け取られるとなかなか納得してもらえません。

 「眠り姫問題」と同じだと納得してもらえる方法はないかと考えたのが次の賭けを持ちかけるバージョンです。

  • 賭けバージョン

状況はオリジナルの「眠り姫問題」と全く同じだ。質問のほかに賭けを持ちかけるだけだ。

質問「あなたは目覚めた。コインが表だった確率は?」

賭け「300枚のチップがある、コインの表と裏に何枚ずつ賭けるか?」

  賭けを持ち掛けたのは、質問を実験前の「問1」と同じと解釈されないためです。金が掛かっていれば得られている情報は全部使うでしょう。

 もし、表の確率が1/2ならば、どのような賭け方をしても当たりチップの期待値は150枚で変わりません。表に300枚全部賭けても同じです。

 表の確率が1/3ならば、裏に全部賭けるべきです。当たりチップの期待値が200枚と最大値になるからです。

 ここまで読めば、表に全部賭けるのは何となく損だとわかるのではないでしょうか。結果を知っている実験者が表なら1回しか起こしてくれないのに、裏なら2回起こしてくれるのですからね。

 また、1回の実験で表なら1回の賭け、裏なら2回の賭けが行われますので、賭けの回数の期待値(平均値)は1.5回です。したがって1回の実験の期待値は1/2派なら150×1.5=225枚、1/3派なら200×1.5=300枚と見積もるはずです。

 どちらが正しいのでしょうか。実は答え合わせする方法があります。1回の実験の当たりチップの期待値は眠り姫が考えるコインの表の確率(1/2か1/3)を使わずに計算できます。もし表が出たのなら1回の賭けが行われ、裏がでたのなら2回の賭けが行われます。したがって、表に300枚賭けた時の当たり枚数の期待値は、1/2×300+1/2×(0+0)=150ですが、1/2派の225枚と違います。裏に300枚賭けた時は、1/2×0+1/2×(300+300)=300 となり1/3派の計算と合います。

 結局、目覚めた時に賭けをするのなら「表の確率1/2」と考えると損します。いうまでもなく実験前に賭けるのなら「表の確率1/2」です。状況(得ている情報)が違うだけのことで、パラドックスでもなんでもありません。

 前の記事のコメント欄にも書きましたが、問題文のなおがき「コイン投げは、あなたが最初に起こされる前でも、月曜にあなたが目覚めた後でも、問題の構造は変化しない。」という記述が曲者でした。直感的な回答「1/2」を強化し、パラドックスに誘導する巧妙な仕掛けだったのですね。

 

(3/20午後追記)

  「眠り姫問題」は、叙述トリックに似ています。記憶を消すなどの設定で不思議な雰囲気を醸しパラドックスと錯覚させるところが面白いです。つまらなくなりますが、叙述トリックを取り去ってみました。

 設定はオリジナルバージョンと同じであるが、質問は実験前の日曜日に行う。

問1 コインの表が出る確率は?

問2 目覚めた時に、コインが表である確率は?

問3 月曜日に目覚めた時に、コインが表である確率は?

  この質問を日曜日に行うバージョンでは、記憶が無くなるという気持ち悪い設定も不要です。さらに、つまらない設定にすると、

  • 製品検査バージョン

 shinzor工場は、製造品の半数が不良品だが、出荷前に製品検査を行う。ただ、検査も完全ではなく、合格品の3つに一つ不良品が混じり込む。検査に合格した製品が不良品である確率は?

  叙述トリックといえば、歌野晶午の「葉桜の季節に君を想うということ」には完全に騙されましたね。騙されたことで楽しめました。もし序盤で叙述トリックを見破っていたら楽しめなかったと思います。「眠り姫問題」も「パラドックスっぽくないバージョン」は簡単すぎて面白くありません。マジックも種を知っていれば楽しめません(演出を楽しむことはできますが)。

 ただ、騙されて楽しんでいるうちは良いのですが、マジックも超能力ではないかと考え出すと危ういです。確率の問題も似た危うさがあると思います。「眠り姫問題」界隈では、「唯一設定」、「反復設定」なる意味不明の説明があるようです。

 稀に深遠な真理が潜んでいる可能性もありますが、私ごときがそのような真理を発見することも理解することもありえないと思います。無理に説明しようとせずに、単純なことに自分が気づいていないだけだと思って叙述トリックを楽しみます。

 

(3/22 追記)

 3/20の追記で叙述トリック的なところがあると述べました。例えば「表であった確率は?」という質問を「この質問が、1回しかされない質問である確率は?」に変えてみると、印象が違ってきます。しかし、月曜日の1回しか質問されないのは表であった場合ですから、内容は同じです。

 印象が違うのは、「1回しかされない質問」だと実験者の操作があることが明確になりますが、「コインが表であった」だと偶然の結果の感じが強くなります。でも、偶然の結果のあとに実験者が質問の回数を操作しています。にもかかわらずそれを感じさせない巧妙な叙述トリックではないでしょうか。

 「眠り姫問題」は、条件付き確率の問題ですが、条件付き確率を最初に知った時、私はピンとこないところがありました。既に結果が出ているのに、確率として扱い、条件次第でその確率が変わってきます。次に引用しているのは、「数学再入門Ⅱ」(林 周二著)という本にあったベイズの定理の練習問題です。

 

ある工場でできた某種の工作機械が、

  優(優秀品)である確率は  2/8

  良(普通品)である確率は  5/8

    不良(不良品)である確率は 1/8

である。優の機械で製品を作れば必ず合格品ができる。良の機械で製品を作れば0.9の確率で合格品ができる。不良の機械で製品を作れば不合格品ができる、ものとしよう。いま、くじ引き式に選ばれた一台の機械によって、試みに3個の製品を作ったところ全部が合格品になった。この工作機械が優の機械である確率を求めよ。

  最初にこの問題を見た時、どこから手を付けてよいか分からなかった覚えがあります。優である確率は2/8と決まっているのに、3個製品を作ったら全部が合格品だったことで確率が変わるのです。確かに変わりそうですが、さてどうしたものかと。

 3/20の追記で述べた「製品検査バージョン」はこの練習問題が元になっています。「眠り姫問題」との対応を分かりやすくした版を作ってみました。

 

  • 製品検査バージョン2

 旧工作機械と新工作機械の2台を持つ工場がある。どちらの機械1日当たり生産能力同じである。ただし、旧工作機械は製品の半数が不合格品になる。それに対し新工作機械は全部合格品になる。

 ある日に生産された合格品から1個を取り出した時、旧工作機械で作られた製品である確率を求めよ。

  この問題では、「合格品」が、事後確率を求めるための条件であることが分かり安く述べられています。同様に、「眠り姫問題」の事後確率をもとめるための条件は「起こされて質問される」ことです。しかし、そのような条件は何も与えられていないように感じます。なかなか巧妙な叙述トリックではないでしょうか。

「眠り姫問題」混乱する原因 ― 多重人格バージョン

  • 1/3と考える消極的理由

 nananana0110さんから前の記事に興味深くて貴重なコメントを頂きました。

 まとめの記事を書いたばかりですが、コメントも頂いていろいろ混乱する原因を考えたので、再び記事を書きました。

  nananana0110さんがおっしゃる通り、そもそも何を答えるべきなのかあやふやなのだと思います。ではなぜあやふやなのに、あやふやと感じないで「1/2だ。いや1/3だ。」と論争になるのでしょうか。その前に、あやふやと言いながら私は1/3と主張しています。その理由を最初に述べます。

 ゆがみのないコインを投げ表が出た事前確率なら答えは「1/2」です。しかし、「眠り姫問題」の諸条件の下での事後確率なら「1/3」が妥当と思います。質問を分解してみます。

 

問1-1「今が月曜日の確率は?」

 多分、2/3という答えが多いと思います。火曜日には目覚めない場合もありますから。

問1-2「今が月曜日で、表がでた確率は?」

 最初の質問に2/3と答えたのなら、その1/2で1/3と答えるのではないでしょうか。

問2-1「あなたが目覚める前に表が出た確率は?

 この質問はあいまいですが、目覚めたという条件がないと考えてください。1/2という答えが多いと思います。

問2-2「あなたが目覚める前に表が出て、目覚めた今が月曜日の確率は?」

 表が出た場合は月曜しか目覚めないので、1/2×1=1/2と答える人も多いと思います。

 

 問1-2と問2-2は同じ質問のように見えますが答えが違います。何故でしょうか。問1の場合は最初から表火は排除して考えています。つまり、表月、裏月、裏火の3つの可能性のうち表月、裏月の比率を問1-1で尋ね、さらに問1-2で問1-1の答えに表月、裏月のうち表月の比率を乗じるように誘導しています。

 一方の問2では、最初は表火を排除していません。問2-1は表月、表火、裏月、裏火に4つの可能性のうち表月、表火の比率を尋ねているのに、問2-2で、既に表火が排除されているように誤誘導しています。正解は問2-1の答えに1/2を乗じ1/4となります。問2シリーズは、4つの可能性のうちの一つですから1/4となり、問1シリーズは3つの可能性のうちの一つですから1/3です。別に矛盾はありません。

 問2-1で、表火を最初から削除された形で尋ねるのならば、表月、裏月、裏火のうち表月の確率を尋ねることになり、答えは1/3です。これがもともとの「眠り姫問題」の質問(問0)です。問2シリーズはあいまいで混乱を招く質問で、「眠り姫問題」は、それに類した推論に誘導されるように作られていると思います。「眠り姫問題」は問2-1を尋ねていると解釈することも可能ですが、それならば記憶が無くなるというような気持ち悪い設定は不要です。確かに事前確率と事後確率のどちらを尋ねているかあやふやですが、設定を使う方が妥当だろうということで私の意見は1/3なのです。

 

  • 混乱する原因

 何故このような混乱が起こるのかですが、条件付確率に付き物の混乱ではないでしょうか。なお、ここからは心理の話なのであくまでも推測になります。

 条件付確率では事前確率や事後確率という言葉があり、時系列的な前後関係を意味しているわけではないのですが、何となくそのような印象を与えています。さらに確率には、将来起こる不確実な事柄というイメージがありますが、既に起こってしまった過去の出来事も確率として扱います。未来、過去、実際の状態に無関係に得られている情報から考えて可能性のある事柄のうち、特定の事柄の比率を確率と言っているだけです。初期状態で得られている情報での確率を事前確率といい、情報が増えて修正した確率が事後確率です。

 そうなのですが、人間の心理は時系列や実際の状態(たとえ不明でも)というものにどうしても影響されます。「眠り姫問題」では最初のコインが投げられ表裏は決まっています。それは変わりませんが、得られた情報で確率は変わるというところに違和感があるのだと思います。前述の問1-2で用いる表の確率は月曜日という条件付き確率で、無条件の場合の事前確率とは違うのですが、結果的に1/2と同じ値になるので、意識せずに済みます。

 ところが問2シリーズになると、表の確率や月曜日の確率が、目覚める前という条件なのか目覚めた条件なのかで違うため、正しく考えるには意識する必要があります。問1-1の月曜日の確率は目覚めている条件を意識しやすいですが、問2-2の質問やもともとの問0では意識しにくいのではないでしょうか。

 それに加えて、記憶がなくなるという非現実的な設定も経験がないので想像しにくいです。ところで、記憶が無くなるのは、人格が分裂し別人格の記憶がなくなる多重人格に似ています。ということでまたまた別バージョンを作ってみました。

 

  • 多重人格バージョン

 多重人格の眠り姫がいる。分裂した人格は全く同じで区別がつかず自分でもわからず、他人格のときの記憶は残らない。また分裂する前の人格は共有していて、その経験を記憶している。

 コイン投げが分裂のスイッチになる。表が出ると1日だけ姫Aになり、裏が出ると1日目は姫Bに2日目には姫Cになる。人格が変わった時に次に質問をする。

 なお、以上の状況は分裂前にすべて説明してある。

 

問1 あなたが姫Aである確率は?

問2  コインが表だった確率は?

 

 問1と問2は同じ質問であると私は考えます。

 

(3/17 追記)

 1/2と1/3以外の答えがなく、1/2と1/3の何れで考えても矛盾が発生するならパラドックスです。でも私は、1/2では矛盾が生じますが、1/3では生じないと思います。1/3での矛盾が何か私にはよくわからないのですが、実験前は1/2、実験中は1/3、実験後に1/2と眠り姫の答えが変わるのは矛盾ではありませんね。それぞれの時点の情報量が違いますから。

 にもかかわらず、「記憶が消え,る」ガジェットが矛盾のように感じさせるのではないでしょうか。記憶がある普通の状態では情報量は増えつづけ、減ることはありませんが(過去の情報が間違いと取り消されることはあります。)この問題では増えたり減ったりします。実験中は質問をされているという情報が増え、実験後に記憶が消えれば実験前と同じ情報量に戻ります。裏火で質問を受けている状況も裏月から情報量は増えません。現実にこのような経験をすることはないので奇妙に感じるのではないでしょうか。

 これ以外の矛盾があるのかもしれませんが、今のところ知りません。気づいていないだけかもしれませんので、気づいたときには意見が変わる可能性もあります。

 

 

 

「眠り姫問題」現時点のまとめ

 「眠り姫問題」関連の記事をいくつか書きました。途中で微妙に意見が変わったりしたので、一旦ここで自分の意見をまとめました。

記憶が無くなる気持ち悪い設定やら、意思決定問題だとか人間原理みたいな要素をきれいさっぱりそぎ落とし、確率計算に必要な情報だけにすると単純です。

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問1:「いまは日曜日、実験開始直前である。コイン表 である確率は?」

問2:「さあ、あなたは目覚めた。コイン表である確率は?」

問3:「さあ、あなたは目覚めた。今は月曜日である。コイン表である確率は?」

 

答1: 問題条件より、1/2

答2: A/(A+C+D)

答3: A/(A+C)

   「眠り姫問題」は、確率が変わる状況の違いを分かりにくくしているところが、「2人きょうだい問題」や「モンティホール問題」と似ています。

問1: 近所に引っ越してきた一家には子供が2人います。

奥さんに「女の子はいますか?」と訊いたら、「おります」という返事でした。

もう1人が女の子である確率はいくらですか?

問2: 近所に引っ越してきた一家には子供が2人います。

奥さんが女の子を一人連れて挨拶に来ました。もう1人が女の子である確率はいくらですか?

 

答1: (姉妹)/(姉妹+姉弟+兄妹)

答2:(姉妹の姉+姉妹の妹)/(姉妹の姉+姉妹の妹+姉弟の姉+兄妹の妹)

  「2人きょうだい問題」では、姉妹、姉弟、兄妹、兄弟の可能性は同等だし、姉妹の姉、姉妹の妹、姉弟の姉、兄妹の妹も同等(同様に確からしい)であることに異論を唱える人は多分いません。統計で確かめることもできます。しかし、「眠り姫問題」ではA、B、C、Dが同等かどうかで意見の一致を見ないわけです。これはもはや数学の確率の議論ではありませんね。数学では「同様に確からしい」につては言及しませんから。  

私は、上記のA,B,C,Dはすべて同等と考えますので、問2は1/3、問3は1/2になると思いますが、A=1/2、B=0、C=D=1/4と考える人もいて、その場合の問2は1/2、問3は2/3になります。1/3や2/3に引っかかる人も多いですが、前提のA,B,C,Dをそうなるように自分で仮定したのだから認めるか、自分の仮定が誤りだったと認めるしかないでしょう。私は問2の1/3に当初、違和感がありましたが、今はなくなりました。

  紛糾しているのは、問題文に述べられている非現実的な状況の解釈です。それによって、A,B,C,Dの比率が変わってきますが、そこは数学の問題ではないので平行線でしょう。「二人きょうだいの問題」のように、統計や実験で確かめられる現実的なバージョンをいくつか作ってみましたが、それは「眠り姫問題」とは違うと言われてしまえばどうしようもありません。納得しない人はしないでしょう。例え話をしても「それは話が違う」と言われるようなものです。そう意味であいまいな問題だと思います。

 

(追記3/15午後)

 1/3派の私が考える、A=1/2、B=0、C=D=1/4の状況は次のようになります。

表が出たら月曜日に質問する。

 裏が出たら、もう一度コインを投げ表が出たら月曜日に起こして質問し、火曜日には起こさない。2投目のコインも裏ならば、月曜日には起こさず火曜日に起こして質問する。質問は一投目の表の確率である。

  1/2派の人に尋ねたいのは、上記の場合のA,B,C,Dをどのように考えるのかです。

「眠り姫問題」目撃者バージョン・認知症バージョン

  •  目撃者バージョン

 一人姫のオリジナルバージョンでは、表月、裏月、裏火の3つの状況で眠り姫が体験している客観的状況は全く同等です。ただし、記憶が消えない当たり前の設定では、曜日が分かってしまい、それが月曜日なら、表の確率は1/2と簡単に分かってしまいます。

  それを防ぎ、裏で火曜日の可能性を排除しないために記憶が無くなるという設定にしているのですから、その設定では表の確率は1/3と答えるしかないと思います。しかし、非現実的な設定であるため、違和感があり議論が紛糾するのではないでしょうか。

 非現実性による違和感をなくしたのがひとつ前の記事の4人姫バージョンです。現実的な設定で、裏火の可能性を排除しないようにしていますが、表の確率を推理するために与えられる情報は一人姫バージョンと同じです。

  もう一つ、設定の違和感をなくすために、眠り姫にではなく第三者に質問するバージョンもあります。この場合も眠り姫と第三者(目撃者)に与えられる情報は同じです。

  コインが表なら眠り姫に翌日に1回質問をする。裏なら翌日と翌々日の2回質問する。いつコインが投げられるかは分からない。あなたは、偶然、眠り姫が質問を受けているところを目撃した。コインが表だった確率は?

 記憶がなるなるのは非現実的な設定ですが全く現実にありえないわけでもありません。認知症になると短期記憶が失われます。そのため、10分経つと同じ会話を繰り返すという悪夢のような状況が現実に起こります。さらに記憶以外の知性は健全であったりします。普通は記憶障害の自覚はないのですが、説明すれば理解し、1日だけ覚えているとして、次の問題を作ってみました。

  

短期記憶(1日程度)障害はあるがその他の知性は健全な認知症の治療薬ができた。ただし、服用した日までの記憶は回復せず、服用翌日からの記憶が失われないだけである。また、服用の翌日までに検査で効果が確認できる確率は1/2である。翌日に医師が状況説明と検査を行い効果があったか確認する。ただし、結果は医師しかわからず患者には教えない。患者が効果を自覚するのは翌日以降である。1回目の検査で効果が確認できない場合は翌々日に再度検査する。

問1:1回目か2回目か不明だが医者の検査を受けている患者がいる。1回目の検査で効果があった確率は?

問2:検査中の患者自身は、現在が1回目の検査で効果が確認できた確率がいくらだと考えるか?